3.112 \(\int (c+d x)^4 \cot ^2(a+b x) \csc (a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=416 \[ \frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (5,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (5,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b} \]

[Out]

(-12*d^2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^4*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (2*d*(c + d*x)
^3*Csc[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) + ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*
(a + b*x))])/b^4 - ((2*I)*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E
^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((2*I)*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (12*d^4*PolyLog[3, -E^(I*(a + b
*x))])/b^5 + (6*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (12*d^4*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^5 -
(6*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4
- ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (12*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (12*d^
4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/b^5

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.501959, antiderivative size = 416, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 31, number of rules used = 7, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.318, Rules used = {4415, 4183, 2531, 6609, 2282, 6589, 4186} \[ \frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (5,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{12 d^4 \text{PolyLog}\left (5,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x],x]

[Out]

(-12*d^2*(c + d*x)^2*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((c + d*x)^4*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b - (2*d*(c + d*x)
^3*Csc[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x])/(2*b) + ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, -E^(I*
(a + b*x))])/b^4 - ((2*I)*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E
^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((2*I)*d*(c + d*x)^3*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (12*d^4*PolyLog[3, -E^(I*(a + b
*x))])/b^5 + (6*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (12*d^4*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^5 -
(6*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))])/b^4
- ((12*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (12*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))])/b^5 + (12*d^
4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/b^5

Rule 4415

Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Int[(c + d*
x)^m*Csc[a + b*x]*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Csc[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]^(p - 2), x] /; FreeQ[
{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[p/2, 0]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^4 \cot ^2(a+b x) \csc (a+b x) \, dx &=-\int (c+d x)^4 \csc (a+b x) \, dx+\int (c+d x)^4 \csc ^3(a+b x) \, dx\\ &=\frac{2 (c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{1}{2} \int (c+d x)^4 \csc (a+b x) \, dx+\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \csc (a+b x) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b}-\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{4 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(2 d) \int (c+d x)^3 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(2 d) \int (c+d x)^3 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{\left (12 i d^2\right ) \int (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (12 i d^2\right ) \int (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (12 d^3\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (12 d^3\right ) \int (c+d x) \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{\left (6 i d^2\right ) \int (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac{\left (6 i d^2\right ) \int (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (24 d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac{\left (24 d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (12 i d^4\right ) \int \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}+\frac{\left (12 i d^4\right ) \int \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (12 d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (12 d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (12 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{\left (12 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{\left (24 i d^4\right ) \int \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}+\frac{\left (24 i d^4\right ) \int \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^4 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 d^4 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (24 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_4(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{\left (24 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_4(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{\left (12 i d^4\right ) \int \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}-\frac{\left (12 i d^4\right ) \int \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^4 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 d^4 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{24 d^4 \text{Li}_5\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{24 d^4 \text{Li}_5\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{\left (12 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_4(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{\left (12 d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_4(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ &=-\frac{12 d^2 (c+d x)^2 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^4 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{2 d (c+d x)^3 \csc (a+b x)}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc (a+b x)}{2 b}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{2 i d (c+d x)^3 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{12 d^4 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 d^4 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac{6 d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 i d^3 (c+d x) \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{12 d^4 \text{Li}_5\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{12 d^4 \text{Li}_5\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 8.43926, size = 966, normalized size = 2.32 \[ \frac{-c^4 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^4-d^4 x^4 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^4-4 c d^3 x^3 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^4-6 c^2 d^2 x^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^4-4 c^3 d x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^4+c^4 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^4+d^4 x^4 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^4+4 c d^3 x^3 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^4+6 c^2 d^2 x^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^4+4 c^3 d x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^4+12 c^2 d^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^2+12 d^4 x^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^2+24 c d^3 x \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) b^2-12 c^2 d^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^2-12 d^4 x^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^2-24 c d^3 x \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) b^2+12 c^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right ) b^2+12 d^4 x^2 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right ) b^2+24 c d^3 x \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right ) b^2-12 c^2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right ) b^2-12 d^4 x^2 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right ) b^2-24 c d^3 x \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right ) b^2-4 i d (c+d x) \left (b^2 (c+d x)^2-6 d^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right ) b+4 i d (c+d x) \left (b^2 (c+d x)^2-6 d^2\right ) \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right ) b+24 i c d^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right ) b+24 i d^4 x \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right ) b-24 i c d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right ) b-24 i d^4 x \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right ) b-24 d^4 \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )+24 d^4 \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )-24 d^4 \text{PolyLog}\left (5,-e^{i (a+b x)}\right )+24 d^4 \text{PolyLog}\left (5,e^{i (a+b x)}\right )}{2 b^5}-\frac{\csc ^2(a+b x) \left (b \cos (a+b x) c^4+4 b d x \cos (a+b x) c^3+4 d \sin (a+b x) c^3+6 b d^2 x^2 \cos (a+b x) c^2+12 d^2 x \sin (a+b x) c^2+4 b d^3 x^3 \cos (a+b x) c+12 d^3 x^2 \sin (a+b x) c+b d^4 x^4 \cos (a+b x)+4 d^4 x^3 \sin (a+b x)\right )}{2 b^2} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^2*Csc[a + b*x],x]

[Out]

(-(b^4*c^4*Log[1 - E^(I*(a + b*x))]) + 12*b^2*c^2*d^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - 4*b^4*c^3*d*x*Log[1 - E^(I*(a
+ b*x))] + 24*b^2*c*d^3*x*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - 6*b^4*c^2*d^2*x^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] + 12*b^2*d^4*
x^2*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - 4*b^4*c*d^3*x^3*Log[1 - E^(I*(a + b*x))] - b^4*d^4*x^4*Log[1 - E^(I*(a + b*x))]
+ b^4*c^4*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - 12*b^2*c^2*d^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + 4*b^4*c^3*d*x*Log[1 + E^(I*(a
+ b*x))] - 24*b^2*c*d^3*x*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + 6*b^4*c^2*d^2*x^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] - 12*b^2*d^4*x
^2*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + 4*b^4*c*d^3*x^3*Log[1 + E^(I*(a + b*x))] + b^4*d^4*x^4*Log[1 + E^(I*(a + b*x))]
- (4*I)*b*d*(c + d*x)*(-6*d^2 + b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))] + (4*I)*b*d*(c + d*x)*(-6*d^2 +
b^2*(c + d*x)^2)*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))] + 12*b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))] - 24*d^4*PolyLog[3,
-E^(I*(a + b*x))] + 24*b^2*c*d^3*x*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))] + 12*b^2*d^4*x^2*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))]
- 12*b^2*c^2*d^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))] + 24*d^4*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))] - 24*b^2*c*d^3*x*PolyLog[3,
E^(I*(a + b*x))] - 12*b^2*d^4*x^2*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))] + (24*I)*b*c*d^3*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))] +
(24*I)*b*d^4*x*PolyLog[4, -E^(I*(a + b*x))] - (24*I)*b*c*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))] - (24*I)*b*d^4*x*Pol
yLog[4, E^(I*(a + b*x))] - 24*d^4*PolyLog[5, -E^(I*(a + b*x))] + 24*d^4*PolyLog[5, E^(I*(a + b*x))])/(2*b^5) -
(Csc[a + b*x]^2*(b*c^4*Cos[a + b*x] + 4*b*c^3*d*x*Cos[a + b*x] + 6*b*c^2*d^2*x^2*Cos[a + b*x] + 4*b*c*d^3*x^3
*Cos[a + b*x] + b*d^4*x^4*Cos[a + b*x] + 4*c^3*d*Sin[a + b*x] + 12*c^2*d^2*x*Sin[a + b*x] + 12*c*d^3*x^2*Sin[a
+ b*x] + 4*d^4*x^3*Sin[a + b*x]))/(2*b^2)

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.381, size = 1673, normalized size = 4. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2*csc(b*x+a),x)

[Out]

-1/2/b*d^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^4+1/2/b^5*d^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^4-4/b^4*c*d^3*a^3*arctanh(exp(I*(b*x+a)
))+6/b^3*c^2*d^2*a^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))-4/b^2*c^3*d*a*arctanh(exp(I*(b*x+a)))+24/b^4*c*d^3*a*arctanh(exp(
I*(b*x+a)))+2*I/b^2*c^3*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))+12*I/b^4*c*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-2*I/b^2*d^4*poly
log(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^3+12*I/b^4*d^4*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))*x-2/b*c*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3+6*d^4/
b^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*d^4/b^5*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2-6*d^4/b^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+2/b^4*c*d^3
*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a^3-2/b^4*c*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3-12*d^4*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))/b^5+12*d^4*po
lylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^5+2/b*c*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^3-6/b^3*d^4*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x^2-1/2/b^5
*d^4*a^4*ln(exp(I*(b*x+a))+1)-6/b^3*c^2*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*c^2*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))
+1/b^5*d^4*a^4*arctanh(exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*d^4*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x^2-3/b*c^2*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)
))*x^2+1/2/b*d^4*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^4+3/b^3*c^2*d^2*a^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))-2/b*c^3*d*ln(1-exp(I*(b*x+a))
)*x-2/b^2*c^3*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+2/b*c^3*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+12/b^3*c*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a))
)*x-3/b^3*c^2*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+3/b*c^2*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2-12/b^3*c*d^3*polylog(3,exp(I*(
b*x+a)))*x+2/b^2*c^3*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a+12*d^3/b^3*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+12*d^3/b^4*c*ln(1-exp(I*(b*x
+a)))*a-12*d^3/b^3*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-12*I*d^4/b^4*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-12*I*d^3/b^4*c*polylog(2,
exp(I*(b*x+a)))+1/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2*(d^4*x^4*b*exp(3*I*(b*x+a))+4*c*d^3*x^3*b*exp(3*I*(b*x+a))+6*c^2*
d^2*x^2*b*exp(3*I*(b*x+a))+d^4*x^4*b*exp(I*(b*x+a))+4*c^3*d*x*b*exp(3*I*(b*x+a))+4*c*d^3*x^3*b*exp(I*(b*x+a))+
12*I*c*d^3*x^2*exp(I*(b*x+a))+c^4*b*exp(3*I*(b*x+a))+6*c^2*d^2*x^2*b*exp(I*(b*x+a))+4*I*c^3*d*exp(I*(b*x+a))+4
*c^3*d*x*b*exp(I*(b*x+a))-12*I*c*d^3*x^2*exp(3*I*(b*x+a))-4*I*c^3*d*exp(3*I*(b*x+a))+c^4*b*exp(I*(b*x+a))+4*I*
d^4*x^3*exp(I*(b*x+a))-4*I*d^4*x^3*exp(3*I*(b*x+a))-12*I*c^2*d^2*x*exp(3*I*(b*x+a))+12*I*c^2*d^2*x*exp(I*(b*x+
a)))+6/b^5*d^4*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a^2-12/b^5*d^4*a^2*arctanh(exp(I*(b*x+a)))-12/b^3*c^2*d^2*arctanh(exp(I*(b
*x+a)))-12*d^4*polylog(5,-exp(I*(b*x+a)))/b^5+12*d^4*polylog(5,exp(I*(b*x+a)))/b^5+1/b*c^4*arctanh(exp(I*(b*x+
a)))+6*I/b^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*c^2*d^2*x-6*I/b^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*c^2*d^2*x+6*I/b^2*c*d^3*po
lylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2-12/b^4*c*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*a-12*I/b^4*d^4*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))*x+2*I/b
^2*d^4*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^3+12*I/b^4*d^4*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+12*I/b^4*c*d^3*polylog(4,-exp(I
*(b*x+a)))-2*I/b^2*c^3*d*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-12*I/b^4*c*d^3*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^2*c*d^3*pol
ylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 18.8847, size = 9385, normalized size = 22.56 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2*csc(b*x+a),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*(c^4*(2*cos(b*x + a)/(cos(b*x + a)^2 - 1) + log(cos(b*x + a) + 1) - log(cos(b*x + a) - 1)) - 4*a*c^3*d*(2*
cos(b*x + a)/(cos(b*x + a)^2 - 1) + log(cos(b*x + a) + 1) - log(cos(b*x + a) - 1))/b + 6*a^2*c^2*d^2*(2*cos(b*
x + a)/(cos(b*x + a)^2 - 1) + log(cos(b*x + a) + 1) - log(cos(b*x + a) - 1))/b^2 - 4*a^3*c*d^3*(2*cos(b*x + a)
/(cos(b*x + a)^2 - 1) + log(cos(b*x + a) + 1) - log(cos(b*x + a) - 1))/b^3 + a^4*d^4*(2*cos(b*x + a)/(cos(b*x
+ a)^2 - 1) + log(cos(b*x + a) + 1) - log(cos(b*x + a) - 1))/b^4 + 4*((2*(b*x + a)^4*d^4 - 24*b^2*c^2*d^2 + 48
*a*b*c*d^3 - 24*a^2*d^4 + 8*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*
x + a)^2 + 8*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a) + 2*((b*x + a)^4*
d^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 24*a*b*c*d^3 - 12*a^2*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*
d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*
x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 4*((b*x + a)^4*d^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 24*a*b*c*d^3 - 12*a^2*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^
4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 +
3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (2*I*(b*x + a)^4*d^4 - 24*I*b^2*c^2*d^2 +
48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*a^2*d^4 + (8*I*b*c*d^3 - 8*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 +
(12*I*a^2 - 24*I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (8*I*b^3*c^3*d - 24*I*a*b^2*c^2*d^2 + (24*I*a^2 - 48*I)*b*c*d^3 + (-8*I*a
^3 + 48*I*a)*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-4*I*(b*x + a)^4*d^4 + 48*I*b^2*c^2*d^2 - 96*I*a*b*c*d^3 + 48
*I*a^2*d^4 + (-16*I*b*c*d^3 + 16*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 + (-24*I*a^2 + 48*
I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (-16*I*b^3*c^3*d + 48*I*a*b^2*c^2*d^2 + (-48*I*a^2 + 96*I)*b*c*d^3 + (16*I*a^3 - 96*I*a)
*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + (24*b^2*c^2*d^2 - 48*a*b*c*d^3 +
24*a^2*d^4 + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*cos(4*b*x + 4*a) - 48*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d
^4)*cos(2*b*x + 2*a) + (24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*a^2*d^4)*sin(4*b*x + 4*a) + (-48*I*b^2*c^2*d^
2 + 96*I*a*b*c*d^3 - 48*I*a^2*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) + (2*(b*x + a)^4*
d^4 + 8*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 12*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a)^2 + 8*(b^3*c^
3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a) + 2*((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a
*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2
+ 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 4*((b*x + a)^4*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^
4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 +
3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (2*I*(b*x + a)^4*d^4 + (8*I*b*c*d^3 - 8*I
*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + (12*I*a^2 - 24*I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (8*I*b^3*c^3*d
- 24*I*a*b^2*c^2*d^2 + (24*I*a^2 - 48*I)*b*c*d^3 + (-8*I*a^3 + 48*I*a)*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-4
*I*(b*x + a)^4*d^4 + (-16*I*b*c*d^3 + 16*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 + (-24*I*a
^2 + 48*I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (-16*I*b^3*c^3*d + 48*I*a*b^2*c^2*d^2 + (-48*I*a^2 + 96*I)*b*c*d^3 + (16*I*a^3 -
96*I*a)*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + (-4*I*(b*x + a)^4*d^4 -
16*b^3*c^3*d + 48*a*b^2*c^2*d^2 - 48*a^2*b*c*d^3 + 16*a^3*d^4 + (-16*I*b*c*d^3 - 16*(-I*a + 1)*d^4)*(b*x + a)^
3 + (-24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*(-I*a + 1)*b*c*d^3 + (-24*I*a^2 + 48*a)*d^4)*(b*x + a)^2 + (-16*I*b^3*c^3*d - 48*(
-I*a + 1)*b^2*c^2*d^2 + (-48*I*a^2 + 96*a)*b*c*d^3 + (16*I*a^3 - 48*a^2)*d^4)*(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + (-
4*I*(b*x + a)^4*d^4 + 16*b^3*c^3*d - 48*a*b^2*c^2*d^2 + 48*a^2*b*c*d^3 - 16*a^3*d^4 + (-16*I*b*c*d^3 - 16*(-I*
a - 1)*d^4)*(b*x + a)^3 + (-24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*(-I*a - 1)*b*c*d^3 + (-24*I*a^2 - 48*a)*d^4)*(b*x + a)^2 + (
-16*I*b^3*c^3*d - 48*(-I*a - 1)*b^2*c^2*d^2 + (-48*I*a^2 - 96*a)*b*c*d^3 + (16*I*a^3 + 48*a^2)*d^4)*(b*x + a))
*cos(b*x + a) - (8*b^3*c^3*d - 24*a*b^2*c^2*d^2 + 8*(b*x + a)^3*d^4 + 24*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - 8*(a^3 - 6*a)*d^4
+ 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a) + 8*(b^3*c^3*d
- 3*a*b^2*c^2*d^2 + (b*x + a)^3*d^4 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2
+ 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 16*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2
+ (b*x + a)^3*d^4 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 -
2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-8*I*b^3*c^3*d + 24*I*a*b^2*c^2*d^2 - 8*I*(b*x +
a)^3*d^4 + (-24*I*a^2 + 48*I)*b*c*d^3 + (8*I*a^3 - 48*I*a)*d^4 + (-24*I*b*c*d^3 + 24*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-
24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 + (-24*I*a^2 + 48*I)*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - (16*I*b^3*c^3*d - 48
*I*a*b^2*c^2*d^2 + 16*I*(b*x + a)^3*d^4 + (48*I*a^2 - 96*I)*b*c*d^3 + (-16*I*a^3 + 96*I*a)*d^4 + (48*I*b*c*d^3
- 48*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (48*I*b^2*c^2*d^2 - 96*I*a*b*c*d^3 + (48*I*a^2 - 96*I)*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x
+ 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (8*b^3*c^3*d - 24*a*b^2*c^2*d^2 + 8*(b*x + a)^3*d^4 + 24*(a^2 - 2)*b*c*d^3 -
8*(a^3 - 6*a)*d^4 + 24*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x +
a) + 8*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + (b*x + a)^3*d^4 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a
*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 16*(b^3*c^3*d
- 3*a*b^2*c^2*d^2 + (b*x + a)^3*d^4 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2
+ 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (8*I*b^3*c^3*d - 24*I*a*b^2*c^2*
d^2 + 8*I*(b*x + a)^3*d^4 + (24*I*a^2 - 48*I)*b*c*d^3 + (-8*I*a^3 + 48*I*a)*d^4 + (24*I*b*c*d^3 - 24*I*a*d^4)*
(b*x + a)^2 + (24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + (24*I*a^2 - 48*I)*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + (-16*I
*b^3*c^3*d + 48*I*a*b^2*c^2*d^2 - 16*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-48*I*a^2 + 96*I)*b*c*d^3 + (16*I*a^3 - 96*I*a)*d^4
+ (-48*I*b*c*d^3 + 48*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-48*I*b^2*c^2*d^2 + 96*I*a*b*c*d^3 + (-48*I*a^2 + 96*I)*d^4)*(b*
x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + (-I*(b*x + a)^4*d^4 + 12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 1
2*I*a^2*d^4 + (-4*I*b*c*d^3 + 4*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*b*c*d^3 + (-6*I*a^2 + 12*I)*
d^4)*(b*x + a)^2 + (-4*I*b^3*c^3*d + 12*I*a*b^2*c^2*d^2 + (-12*I*a^2 + 24*I)*b*c*d^3 + (4*I*a^3 - 24*I*a)*d^4)
*(b*x + a) + (-I*(b*x + a)^4*d^4 + 12*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + 12*I*a^2*d^4 + (-4*I*b*c*d^3 + 4*I*a*d^
4)*(b*x + a)^3 + (-6*I*b^2*c^2*d^2 + 12*I*a*b*c*d^3 + (-6*I*a^2 + 12*I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (-4*I*b^3*c^3*d + 1
2*I*a*b^2*c^2*d^2 + (-12*I*a^2 + 24*I)*b*c*d^3 + (4*I*a^3 - 24*I*a)*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*I*(b
*x + a)^4*d^4 - 24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*a^2*d^4 + (8*I*b*c*d^3 - 8*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (12
*I*b^2*c^2*d^2 - 24*I*a*b*c*d^3 + (12*I*a^2 - 24*I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (8*I*b^3*c^3*d - 24*I*a*b^2*c^2*d^2 + (
24*I*a^2 - 48*I)*b*c*d^3 + (-8*I*a^3 + 48*I*a)*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)^4*d^4 - 12*b^2*c^
2*d^2 + 24*a*b*c*d^3 - 12*a^2*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)
*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b
*x + 4*a) - 2*((b*x + a)^4*d^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 24*a*b*c*d^3 - 12*a^2*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3
+ 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*(a^2 - 2)*b*c
*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1)
+ (I*(b*x + a)^4*d^4 - 12*I*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a*b*c*d^3 - 12*I*a^2*d^4 + (4*I*b*c*d^3 - 4*I*a*d^4)*(b*x + a)
^3 + (6*I*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + (6*I*a^2 - 12*I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (4*I*b^3*c^3*d - 12*I*a*b^2*c^2*d
^2 + (12*I*a^2 - 24*I)*b*c*d^3 + (-4*I*a^3 + 24*I*a)*d^4)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^4*d^4 - 12*I*b^2*c^2*d^2 +
24*I*a*b*c*d^3 - 12*I*a^2*d^4 + (4*I*b*c*d^3 - 4*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (6*I*b^2*c^2*d^2 - 12*I*a*b*c*d^3 + (6
*I*a^2 - 12*I)*d^4)*(b*x + a)^2 + (4*I*b^3*c^3*d - 12*I*a*b^2*c^2*d^2 + (12*I*a^2 - 24*I)*b*c*d^3 + (-4*I*a^3
+ 24*I*a)*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-2*I*(b*x + a)^4*d^4 + 24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*
a^2*d^4 + (-8*I*b*c*d^3 + 8*I*a*d^4)*(b*x + a)^3 + (-12*I*b^2*c^2*d^2 + 24*I*a*b*c*d^3 + (-12*I*a^2 + 24*I)*d^
4)*(b*x + a)^2 + (-8*I*b^3*c^3*d + 24*I*a*b^2*c^2*d^2 + (-24*I*a^2 + 48*I)*b*c*d^3 + (8*I*a^3 - 48*I*a)*d^4)*(
b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^4*d^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 24*a*b*c*d^3 - 12*a^2*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^
4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x + a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 +
3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*((b*x + a)^4*d^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 24*
a*b*c*d^3 - 12*a^2*d^4 + 4*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (a^2 - 2)*d^4)*(b*x
+ a)^2 + 4*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*(a^2 - 2)*b*c*d^3 - (a^3 - 6*a)*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*
log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + (48*I*d^4*cos(4*b*x + 4*a) - 96*I*d^4*cos(2*b*x +
2*a) - 48*d^4*sin(4*b*x + 4*a) + 96*d^4*sin(2*b*x + 2*a) + 48*I*d^4)*polylog(5, -e^(I*b*x + I*a)) + (-48*I*d^4
*cos(4*b*x + 4*a) + 96*I*d^4*cos(2*b*x + 2*a) + 48*d^4*sin(4*b*x + 4*a) - 96*d^4*sin(2*b*x + 2*a) - 48*I*d^4)*
polylog(5, e^(I*b*x + I*a)) + (48*b*c*d^3 + 48*(b*x + a)*d^4 - 48*a*d^4 + 48*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)
*cos(4*b*x + 4*a) - 96*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + (48*I*b*c*d^3 + 48*I*(b*x + a)*d^4
- 48*I*a*d^4)*sin(4*b*x + 4*a) + (-96*I*b*c*d^3 - 96*I*(b*x + a)*d^4 + 96*I*a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(
4, -e^(I*b*x + I*a)) - (48*b*c*d^3 + 48*(b*x + a)*d^4 - 48*a*d^4 + 48*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(4*
b*x + 4*a) - 96*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) - (-48*I*b*c*d^3 - 48*I*(b*x + a)*d^4 + 48*
I*a*d^4)*sin(4*b*x + 4*a) - (96*I*b*c*d^3 + 96*I*(b*x + a)*d^4 - 96*I*a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(4, e^(I
*b*x + I*a)) + (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-24*I*a^2 + 48*I)*d^4 + (-48*I*b*
c*d^3 + 48*I*a*d^4)*(b*x + a) + (-24*I*b^2*c^2*d^2 + 48*I*a*b*c*d^3 - 24*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-24*I*a^2 + 48*I
)*d^4 + (-48*I*b*c*d^3 + 48*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (48*I*b^2*c^2*d^2 - 96*I*a*b*c*d^3 + 48*I*(
b*x + a)^2*d^4 + (48*I*a^2 - 96*I)*d^4 + (96*I*b*c*d^3 - 96*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 24*(b^2*c^2
*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + (a^2 - 2)*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 48*(b
^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + (a^2 - 2)*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*
polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + (24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)^2*d^4 + (24*I*a^2 - 48*I)*d
^4 + (48*I*b*c*d^3 - 48*I*a*d^4)*(b*x + a) + (24*I*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a*b*c*d^3 + 24*I*(b*x + a)^2*d^4 + (24*I
*a^2 - 48*I)*d^4 + (48*I*b*c*d^3 - 48*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (-48*I*b^2*c^2*d^2 + 96*I*a*b*c*d
^3 - 48*I*(b*x + a)^2*d^4 + (-48*I*a^2 + 96*I)*d^4 + (-96*I*b*c*d^3 + 96*I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)
- 24*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + (a^2 - 2)*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x +
4*a) + 48*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + (a^2 - 2)*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(2
*b*x + 2*a))*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + (4*(b*x + a)^4*d^4 - 16*I*b^3*c^3*d + 48*I*a*b^2*c^2*d^2 - 48*I*a^2
*b*c*d^3 + 16*I*a^3*d^4 + (16*b*c*d^3 - (16*a + 16*I)*d^4)*(b*x + a)^3 + (24*b^2*c^2*d^2 - (48*a + 48*I)*b*c*d
^3 + 24*(a^2 + 2*I*a)*d^4)*(b*x + a)^2 + (16*b^3*c^3*d - (48*a + 48*I)*b^2*c^2*d^2 + 48*(a^2 + 2*I*a)*b*c*d^3
- 16*(a^3 + 3*I*a^2)*d^4)*(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (4*(b*x + a)^4*d^4 + 16*I*b^3*c^3*d - 48*I*a*b^2*c^2*d
^2 + 48*I*a^2*b*c*d^3 - 16*I*a^3*d^4 + (16*b*c*d^3 - (16*a - 16*I)*d^4)*(b*x + a)^3 + (24*b^2*c^2*d^2 - (48*a
- 48*I)*b*c*d^3 + 24*(a^2 - 2*I*a)*d^4)*(b*x + a)^2 + (16*b^3*c^3*d - (48*a - 48*I)*b^2*c^2*d^2 + 48*(a^2 - 2*
I*a)*b*c*d^3 - 16*(a^3 - 3*I*a^2)*d^4)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-4*I*b^4*cos(4*b*x + 4*a) + 8*I*b^4*cos(2*b*x
+ 2*a) + 4*b^4*sin(4*b*x + 4*a) - 8*b^4*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I*b^4))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 1.04884, size = 6342, normalized size = 15.25 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2*csc(b*x+a),x, algorithm="fricas")

[Out]

1/4*(2*(b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + b^4*c^4)*cos(b*x + a) + (-4*I*b^3*
d^4*x^3 - 12*I*b^3*c*d^3*x^2 - 4*I*b^3*c^3*d + 24*I*b*c*d^3 + (4*I*b^3*d^4*x^3 + 12*I*b^3*c*d^3*x^2 + 4*I*b^3*
c^3*d - 24*I*b*c*d^3 + 12*I*(b^3*c^2*d^2 - 2*b*d^4)*x)*cos(b*x + a)^2 - 12*I*(b^3*c^2*d^2 - 2*b*d^4)*x)*dilog(
cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (4*I*b^3*d^4*x^3 + 12*I*b^3*c*d^3*x^2 + 4*I*b^3*c^3*d - 24*I*b*c*d^3 + (-4*I*
b^3*d^4*x^3 - 12*I*b^3*c*d^3*x^2 - 4*I*b^3*c^3*d + 24*I*b*c*d^3 - 12*I*(b^3*c^2*d^2 - 2*b*d^4)*x)*cos(b*x + a)
^2 + 12*I*(b^3*c^2*d^2 - 2*b*d^4)*x)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + (-4*I*b^3*d^4*x^3 - 12*I*b^3*c*d^3
*x^2 - 4*I*b^3*c^3*d + 24*I*b*c*d^3 + (4*I*b^3*d^4*x^3 + 12*I*b^3*c*d^3*x^2 + 4*I*b^3*c^3*d - 24*I*b*c*d^3 + 1
2*I*(b^3*c^2*d^2 - 2*b*d^4)*x)*cos(b*x + a)^2 - 12*I*(b^3*c^2*d^2 - 2*b*d^4)*x)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*
x + a)) + (4*I*b^3*d^4*x^3 + 12*I*b^3*c*d^3*x^2 + 4*I*b^3*c^3*d - 24*I*b*c*d^3 + (-4*I*b^3*d^4*x^3 - 12*I*b^3*
c*d^3*x^2 - 4*I*b^3*c^3*d + 24*I*b*c*d^3 - 12*I*(b^3*c^2*d^2 - 2*b*d^4)*x)*cos(b*x + a)^2 + 12*I*(b^3*c^2*d^2
- 2*b*d^4)*x)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + b^4*c^4 - 12*b^2*c^2*d^
2 + 6*(b^4*c^2*d^2 - 2*b^2*d^4)*x^2 - (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + b^4*c^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 6*(b^4*c^2*d
^2 - 2*b^2*d^4)*x^2 + 4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*d^3)*x)*log(cos(b
*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + b^4*c^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 6*(b^4*c^2*d^2 - 2
*b^2*d^4)*x^2 - (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + b^4*c^4 - 12*b^2*c^2*d^2 + 6*(b^4*c^2*d^2 - 2*b^2*d^4)*x^2 +
4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*d^3)*x)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x +
a) + 1) + (b^4*c^4 - 4*a*b^3*c^3*d + 6*(a^2 - 2)*b^2*c^2*d^2 - 4*(a^3 - 6*a)*b*c*d^3 + (a^4 - 12*a^2)*d^4 - (b
^4*c^4 - 4*a*b^3*c^3*d + 6*(a^2 - 2)*b^2*c^2*d^2 - 4*(a^3 - 6*a)*b*c*d^3 + (a^4 - 12*a^2)*d^4)*cos(b*x + a)^2)
*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + (b^4*c^4 - 4*a*b^3*c^3*d + 6*(a^2 - 2)*b^2*c^2*d^2 - 4*(a
^3 - 6*a)*b*c*d^3 + (a^4 - 12*a^2)*d^4 - (b^4*c^4 - 4*a*b^3*c^3*d + 6*(a^2 - 2)*b^2*c^2*d^2 - 4*(a^3 - 6*a)*b*
c*d^3 + (a^4 - 12*a^2)*d^4)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + (b^4*d^4*x^4 +
4*b^4*c*d^3*x^3 + 4*a*b^3*c^3*d - 6*a^2*b^2*c^2*d^2 + 4*(a^3 - 6*a)*b*c*d^3 - (a^4 - 12*a^2)*d^4 + 6*(b^4*c^2
*d^2 - 2*b^2*d^4)*x^2 - (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 4*a*b^3*c^3*d - 6*a^2*b^2*c^2*d^2 + 4*(a^3 - 6*a)*b*c
*d^3 - (a^4 - 12*a^2)*d^4 + 6*(b^4*c^2*d^2 - 2*b^2*d^4)*x^2 + 4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 +
4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*d^3)*x)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) + (b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 4*a*
b^3*c^3*d - 6*a^2*b^2*c^2*d^2 + 4*(a^3 - 6*a)*b*c*d^3 - (a^4 - 12*a^2)*d^4 + 6*(b^4*c^2*d^2 - 2*b^2*d^4)*x^2 -
(b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 4*a*b^3*c^3*d - 6*a^2*b^2*c^2*d^2 + 4*(a^3 - 6*a)*b*c*d^3 - (a^4 - 12*a^2)*d
^4 + 6*(b^4*c^2*d^2 - 2*b^2*d^4)*x^2 + 4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 4*(b^4*c^3*d - 6*b^2*c*
d^3)*x)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 24*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(5, cos(b*x + a) + I*si
n(b*x + a)) + 24*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(5, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 24*(d^4*cos(b*x + a)^2
- d^4)*polylog(5, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 24*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(5, -cos(b*x + a) -
I*sin(b*x + a)) + (24*I*b*d^4*x + 24*I*b*c*d^3 + (-24*I*b*d^4*x - 24*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, cos
(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (-24*I*b*d^4*x - 24*I*b*c*d^3 + (24*I*b*d^4*x + 24*I*b*c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*po
lylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + (24*I*b*d^4*x + 24*I*b*c*d^3 + (-24*I*b*d^4*x - 24*I*b*c*d^3)*cos(b*
x + a)^2)*polylog(4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (-24*I*b*d^4*x - 24*I*b*c*d^3 + (24*I*b*d^4*x + 24*I*b*
c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*polylog(4, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*
d^2 - 2*d^4 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - 2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*
sin(b*x + a)) + 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - 2*d^4 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2
*d^2 - 2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^
2*c^2*d^2 - 2*d^4 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - 2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x +
a) + I*sin(b*x + a)) - 12*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - 2*d^4 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x +
b^2*c^2*d^2 - 2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 8*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3
*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + b^3*c^3*d)*sin(b*x + a))/(b^5*cos(b*x + a)^2 - b^5)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{4} \cot ^{2}{\left (a + b x \right )} \csc{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**4*cot(b*x+a)**2*csc(b*x+a),x)

[Out]

Integral((c + d*x)**4*cot(a + b*x)**2*csc(a + b*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{4} \cot \left (b x + a\right )^{2} \csc \left (b x + a\right )\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2*csc(b*x+a),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^4*cot(b*x + a)^2*csc(b*x + a), x)